تذکر: sqrt x به معني راديكال x مي باشد.
چند نكته:
۱) در هر ميدان عددي حلقه اعداد صحيح جبري يك حوزه ددكيند است. يعني هر ايده آل به شكل يگانه مي تواند به صورت حاصلضرب ايده آلهاي اول نوشته شود.
۲) در هر ميدان عددي تنها تعدادي متناهي ايده آلهاي اول موجودند كه يك عدد اول مفروض p را عاد مي كنند.
۳) يك حوزه ددكيند كه تنها تعدادي متناهي ايده آل اول دارد يك حوزه ايده آل اصلي است و بدين ترتيب هر عضو را به تقريب شريك بودن (دو عضو را شريك گوييم هرگاه يكي حاصلضرب ديگري در يك يكال باشد) مي توان به نحوي يكتا به صورت حاصلضرب عوامل اول نوشت.
ميدان تمام اعداد به شكل a+b*sqrt -۵ را كه در آن a و b اعداد گويا هستند در نظر بگيريد. حلقه اعداد صحيح جبري در اين ميدان شامل اعداد به شكل a+b*sqrt -۵ است كه در آن a و b اعداد صحيح معمولي هستند. به سادگي مي توان ديد كه ۲ و ۳ و sqrt -۵ +۱ و ۱+sqrt -۵ - در اين حلقه اعضاي اول هستند زيرا كه نمي توانند به عواملي كه اعداد صحيح جبري هستند تجزيه شوند مگر آنكه يكي از عوامل يكال ۱ يا -۱ باشد. همچنين
چند نكته:
۱) در هر ميدان عددي حلقه اعداد صحيح جبري يك حوزه ددكيند است. يعني هر ايده آل به شكل يگانه مي تواند به صورت حاصلضرب ايده آلهاي اول نوشته شود.
۲) در هر ميدان عددي تنها تعدادي متناهي ايده آلهاي اول موجودند كه يك عدد اول مفروض p را عاد مي كنند.
۳) يك حوزه ددكيند كه تنها تعدادي متناهي ايده آل اول دارد يك حوزه ايده آل اصلي است و بدين ترتيب هر عضو را به تقريب شريك بودن (دو عضو را شريك گوييم هرگاه يكي حاصلضرب ديگري در يك يكال باشد) مي توان به نحوي يكتا به صورت حاصلضرب عوامل اول نوشت.
ميدان تمام اعداد به شكل a+b*sqrt -۵ را كه در آن a و b اعداد گويا هستند در نظر بگيريد. حلقه اعداد صحيح جبري در اين ميدان شامل اعداد به شكل a+b*sqrt -۵ است كه در آن a و b اعداد صحيح معمولي هستند. به سادگي مي توان ديد كه ۲ و ۳ و sqrt -۵ +۱ و ۱+sqrt -۵ - در اين حلقه اعضاي اول هستند زيرا كه نمي توانند به عواملي كه اعداد صحيح جبري هستند تجزيه شوند مگر آنكه يكي از عوامل يكال ۱ يا -۱ باشد. همچنين
(۱+sqrt -۵)(۱-sqrt -۵)=۲*۳
دو تجزيه به عوامل اول براي عدد ۶ هستند كه به تقريب شريك بودن يكي نيستند. بنابراين حلقه مزبور يك حوزه يكتاي تجزيه نيست و ينابراين يك حوزه ايده آل اصلي نيز نيست. بنابراين طبق سومين خاصيت فوق الذكر بايد تعداد متناهي ايده آل اول داشته باشد و در نتيجه بنابه دومين خاصيت تعدادي نامتناهي عدد اول موجود است.
نوشته شده توسط فرشيد در شنبه یازدهم شهریور 1385 ساعت 10:4 AM | لینک ثابت |
