دومین مقاله در مورد ریاضیات مصر باستان

اعداد مصري

چهارده مرداد

اعداد مثلثي

، 3، 6، 10، 15، 21 و ... بنظر شما این اعداد چه ویژگی مشترکی دارند؟ اگر دست به قلم نشویم و شکل نکشیم و آزمایش نکنیم، فهمیدن ارتباط میان آنها کمی دشوار است. به این شکل دقت کنید مشکل شما حل خواهد شد. به اعداد موجود در این سری، اعداد مثلثی می گوییم.

1 = 1
3= 1+2
6= 1+2+3
10= 1+2+3+4
15= 1+2+3+4+5
21= 1+2+3+4+5+6
. . .

اما شکل اول یک ایده جدید به ما می دهد که می توانیم این اعداد را همانند پاراگراف بالا نیز تفسیر کنیم.

به بیان دیگر می توان گفت که هرعدد مثلثی تشکیل شده است از حاصل جمع یکسری از اعداد متوالی طبیعی. به این معنی که اولین عدد مثلثی مساوی است با مجموع یک عدد از اعداد طبيعي، دومین معادل است با مجموع دو عدد از اعداد طبیعی، سومین معادل است با مجموع سه عدد از اعداد طبیعی و ... و بالاخره n امین عدد مثلثی معادل است با مجموع n عدد از اعداد طبیعی که اگر رياضيات دبیرستان را هنوز فراموش نکرده باشید بخاطر خواهید آورد که مقدار این عدد معادل n(n+1)/2 خواهد بود. (یک  تصاعد حسابي ساده(

مجموع دو عدد مثلثی متوالی اگر هر دو عدد پشت سرهم در سری اعداد مثلثی را با هم جمع کنیم حاصل جمع یک عدد مربع می شود. مثلا" 1+3=4 یا 3+6=9 یا 6+10=16 و ... البته دلیل آن ساده است به شکل دوم توجه کنید و ببینید که چگونه دو    مثلثقرمز و سبز روی هم تشکیل یک مربع را می دهند. (سعی کنید با استدلال ریاضی هم این موضوع را ثابت کنید، ساده است از همان رابطه بالا استفاده کنید.)

مطلب اخیر اغلب بصورت قضیه مربع هر عدد طبیعی برابر است با مجموع دو عدد مثلثی متوالی نیز مطرح می شود.

سوال

چند عدد 6 رقمی وجود دارد كه پس از حذف يكي از رقمهاي آن عدد 11122 حاصل شود؟

جواب:

دو حالت در نظر مي گيريم:

-         رقم حذفی 1 يا 2 باشد. تعداد چنين اعداد 6 رقمي 7 تا بيشتر نيست: 111122و111212و111221و111222و112122و121122و211122

-         رقم حذفي غير از 1 و 2 باشد. در اين صورت بايد  در عبارت : ۲ـ۲-۱-۱-۱--  در هر يك از جاهاي خالي يكي از ارقام {9و8و7و6و5و4و3و0} را قرار دهيم. به وضوح تمام اعدادي كه به اين طريق حاصل ميشوند متمايزند و تعداد آنها برابر است با 6*8=48 . البته از بين اين اعداد يك عدد پذيرفته نيست. زيرا در جاي خالي اول نبايد صفر قرار گيرد. پس تعداد آنها 47 شد كه مجموعا ميشود 54 تا.

سوال ( پس از ...)!

به چند طريق مي توان در هر يك از خانه هاي يك جدول 3*3  يكي از اعداد 0 . 1 و 2 را نوشت به طوري كه مجموع اعداد در هر سطر و در هر ستون برابر 2 شود؟

جواب در ادامه مطلب.....

عدد گویا به توان خودش

مطمئناً همه‌ي شما با اعداد گويا آشنا هستيد و درباره‌ي جبر آن‌ها مطالب زيادي شنيده‌ايد، از جمله اين كه جمع هر عدد گويا با خودش، عددي گويا و يا ضرب هر عدد گويا در خودش، عددي گويا است. امّا تا به حال از خود پرسيده‌ايد كه آيا هر عدد گويا به توان خودش لزوماً عددي گويا مي‌شود؟ يقيناً اگر عدد گوياي صحيح داشته باشيم اين حكم درست است امّا اگر عدد گوياي ما غير صحيح باشد چه طور؟ براي اين منظور حكم شگفت انگيز زير را دنبال كنيد:

حالت الف) 1عدد گوياي غير صحيحي باشد.]

چون 1 نوشت كه در آن 1

عدداوّل و هستند.چون 1=(a,b) پس و در نتيجه 1=(p,a) و لذا . با توجه به(*) چون پس (1).

چون1 [تجزيه به عوامل اوّل]و در نتيجه و با توجه به (1)، موجود است كه .چون 1=(c,d) پس   .توان p در تجزيه ي اعداد به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . پس توان p در تجزيه ي اعداد  به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . با توجه به(*) و اين كه تجزيه به عوامل اوّل يكتاست، نتيجه مي‌شود كه: بنابراين:                  

از طرفي با توجه به اين كه نتيجه مي‌شود كه . از دو رابطه ي اخير نتيجه مي‌شود: . (2)
اكنون توجه شما را به لم زير جلب مي‌كنيم:
لم: اگر p عددي اوّل و  دلخواه باشد آن‌گاه  .
اثبات لم: با استقراء‌ بر m . [جزئيات به عهده‌ي خواننده].

چون رابطه ي (2) و لم فوق با هم در تناقض هستند پس حالت الف) اتفاق نمي‌افتد.

حالت ب) 1=d .با مروري بر قسمت قبل، مي‌توان دريافت كه اين حالت نيز اتفاق نمي‌افتد.[به (*) توجه كنيد ].

اين بحث نشان مي‌دهد كه گنگ است و به اين ترتيب اين حكم شگفت انگيز اثبات مي‌شود.

منبع: سایت ریاضیدانان جوان (مورد توجه بعضی ها!)

اعداد اول

کش رفته شده از سایت ریاضیدانان جوان !!

از بعد چه میدانید؟

مثلث متساوی الاضلاعی را در نظر بگيريد. وسط های ضلع های آن را به هم وصل كنيد ومثلث متساوی الاضلاعی كه در وسط پديد می آيد را از آن حذف نمائيد .

اكنون سه مثلث متساوی الاضلاع باقی مانده در شكل را در نظر بگيريد ,وسط های ضلع ها را در هر مثلث به هم وصل كرده واز درون هر يك, مثلث متساوی الاضلاعی كه در وسط پديد مي آيد را حذف نمائيد .

با تكرار اين روش در دو گام بعدی اين شکل ها حاصل می شوند :

اگر اين فرآيند را تا بی نهايت تكرار كنيم شكل به دست آمده را مثلث سيرپينسكی گويند .

مـثلـث سـيــر پيـنـســكــی

اگر به شكل فوق دقت كنيم در می يابيم كه مثلث سيرپينسكي حاوی كپی هايی كوچك تر از خود است كه اين كپی ها هم اندازه بوده و آن را می سازند . مثلا" همان طور كه در شكل مشخص شده است مثلث سيرپينسكي حاوی 3 كپی كوچك تر از خود است كه اين كپی ها هم اندازه بوده و آن  را می سازند و اگر اين كپی ها را 2 برابر بزرگ كنيم بر مثلث سيرپينسكي منطبق خواهند شد .

در هندسه اين خاصيت را خود شبيهی و كپی های فوق را قطعه های خود شبيه و ميزانی كه كپی ها بايد بزرگ شده تا بر شكل  منطبق شوند را ضريب بزرگ نمايی گويند .

چند مثال ديگراز خود شبيهی :

    
عدد طبيعی و دلخواه را در نظر بگيريد.

پاره خط دلخواهی را در نظر بگيريد و آن را به N قسمت مساوی تقسيم نمائيد ,

كه در آن M=N عبارت است از تعداد قطعه های خود شبيه پاره خط .

مربع دلخواهی را در نظر بگيريد و هر ضلع آن را به N قسمت مساوی تقسيم نمائيد تا  قطعه خود شبيه مربع داشته باشيم .

( دو نمونه از اين شکل ها)

مكعب دلخواهی را در نظر بگيريد و هر يال آن را به N قسمت مساوی تقسيم نمائيد تا  قطعه خود شبيه مكعب داشته باشيم .

( حالت )

تعريف : برای شكل  هندسی دلخواهي كه خاصيت خود شبيهی دارد, بعد عبارت است از:

كه در آن Mبرابر تعداد قطعه های خود شبيه شكل با ضريب بزرگ نمايی N .

اين تعريف تصورهای قبلی ما مبنی بر اين كه پاره خط , مربع و مكعب به ترتيب  2,1 و3 بعدی هستند (چنان كه در فوق ديديم) را تائيد می كند .

حال بعد مثلث سيرپينسكی را محاسبه می كنيم :

كه تقريبا" برابر 58/1 است .


اگر به اين بحث علاقمند شديد , لازم است بدانيد كه  شکل های با خاصيت خود شبیهي  نقش انكارناپذيری در کامپیوتر, هنروپزشكی دارند .

مـراجـع :

1)http://math.rice.edu/ ~ lanius
2) Robert L .Devaney , BU Math. Home Page

سوال

منبع شبکه رشد

...

بدون شرح!!!!!!!!!

صورت سوال : x رو پیدا کنید

دانش آموز عزیز هم به خودشون زحمت دادن و x رو پیدا کردند!!!!!!!!!!!

منبع: شبکه رشد

برای دیدن بقیه به لینک رو به رو مراجعه کنید. http://www.roshd.ir/roshd/Default.aspx?tabid=290&EntryID=661&SSOReturnPage=Check&Rand=0

معما

(با عرض پوزش از آب نکردن)

کشتی دشمن در 3 مایلی شرق زیردریایی اتمی P قرار دارد و با سرعتی با نرخ یکنواخت به طرف شمال در حال حرکت است.
در این لحظه، موشکی مستقیماً به‌طرف دشمن شلیک می‌شود.
سیستم هدایت موشک، آن را چنان کنترل می‌کند که در هر لحظه مستقیماً به‌طرف هدف نشانه گرفته باشد.
اگر سرعت موشک دو برابر سرعت کشتی هدف باشد - که از تاکتیک‌های فرار استفاده نمی‌کند - در این تعقیب و پیش از برخورد موشک به آن، چه مسافتی را طی خواهد کرد؟

منبع: شبکه رشد

قضیه دایره مونژ

تاریخ ریاضیات

یک سوال ساده

دریکی از شهرهای بزرگ جهان ، تعدادمشترکین تلفن ، 999 هزار و 991 نفر است . شرکت مخابرات ، همه ي این اسامی را در کتاب راهنمای تلفن نوشته و در اختیار همه ی مشترکین قرار داده است .
آیا می توانید بگویید این کتاب راهنمای تلفن دقیقا" چند صفحه ای است ؟ درصورتی که اولا" دراین کتاب، تعداد مشترکین نوشته شده در صفحات مختلف با هم مساوی اند ، ثانیا" تعداد صفحات کتاب مزبور از1000 کم تر است .

جواب در ادامه مطلب...

تحقیق در عملیات

در جنگ جهانی دوم فرماندهی نظامی در انگلستان از گروهی از دانشمندان دعوتی بعمل آورد تا در مسائل سوق الجیشی و تدابیر جنگی مربوط به دفاع زمینی و هوایی این کشور مطالعه نمایند. هدف آنها تعیین موثرترین روش استفاده از منابع محدود نظامی بود. از جمله مسائلی که مورد بررسی قرار گرفت مطالعه کارایی بمب افکنهای نوع جدید و روش استفاده از راداری بود که به تازگی اختراع شده بود. تشکیل این گروه علمی به عناون اولین فعالیت رسمی تحقیق در عملیات به شمار آمده است.
نام تحقیق در عملیات ظاهراْ بدین مناسبت داده شده بود که این گروه به پژوهش در عملیات(نظامی) پرداخته بود. این رشته جدید تصمیم گیری از آغاز به عنوان رشته ای شناخته شده است که اطلاعات علمی را از طریق تلاش گروهی متخصص در نظامهای مختلف به منظور تعیین بهترین نحوه استفاده از منابع محدود به کار می گیرد.
نتایج امیدبخشی که توسط گروههای تحقیق در عملیات در بریتانیا به دست آمده بود فرماندهی نظامی ایالات متحده را بر آن داشت تا فعالیتهای مشابهی را شروع نماید. از فعالیتهای موفقیت آمیز گروههای آمریکایی می توان مطالعه مسائل پیچیده تدارکات نظامی٫ ابداع الگوهای جدید پرواز٫ طرح مین گذاری دریا و استفاده موثر از وسائل الکترونیکی را نام برد.
پس از جنگ موفقیت گروههای نظامی توجه مدیران صنعتی را به خود جلب کرد. اینان در جستجوی راه حلهایی برای مسائل خود بودند که بر اثر وارد شدن تخصص شغلی در تشکیلات تجاری روز به روز حادتر می شدند. زیرا با وجود این واقعیت که اصولا مشاغل تخصصی برای خدمت به هدف کلی یک سازمان به وجود می آیند٫ اهداف فردی این مشاغل ممکن است همواره با مقاصد آن سازمان سازگار نباشند. این وضع منجر به مسائل تصمیم گیری پیچیده ای شده است که نهایتا سازمان تجاری را مجبور نموده تا درصدد استفاده از موثرترین روشهای تحقیق در عملیات برآیند.
اگرچه پیشگامی تحقیق در عملیات به عنوان یک نظام جدید با بریتانیای کبیر بود چیزی نگذشت که رهبری این رشته به سرعت در حال رشد را ایالات متحده به دست گرفت. اولین تکنیک ریاضی در این رشته که مورد قبول همه قرار گرفت و روش سیمپلکس برنامه ریزی خطی نامیده شد در سال ۱۹۴۷ توسط ریاضیدان آمریکایی جورج.ب. دانتسیک به وجود آمد. ار آن به بعد با تلاشها و همکاریهای علاقه مندان در موسسات علمی و صنعتی تکنیکها و کاربردهای جدیدی پدید آمده اند.
تاثیر تحقیق در عملیات را امروزه می توان در بسیاری از زمینه ها مشاهده نمود. صحت این امر تعداد زیاد موسسات علمی است که دوره هایی در سطوح تحصیلی مختلف در این رشته عرضه می نمایند. در حال حاضر بسیاری از شرکتهای مشاور در مدیریت سرگرم فعالیتهای تحقیق در عملیات می باشند. این فعالیتها از کاربردهای تجاری و نظامی فراتر رفته و اکنون بیمارستانها٫ موسسات مالی٫ کتابخانه ها٫ طراحی شهرها٫٫ دستگاههای ترابری و حتی بررسیهای کشف جنایت را در برگرفته اند.

سفر به دور دنیا

كره‌ي زمين را با خط استوا و دو نصف‌النهار عمود بر هم به صورت زير به 8 قسمت تقسيم مي‌كنيم.

زیست شناس . فیزیکدان و ریاضیدان

یه ریاضیدان ویه فیزیکدان ویه زیست شناس توی یه قطارمسافرت می کردن.درمزرعه ای کنار ریل قطار یک گوسفند مشاهده شد.زیست شناس فریاد زد"همه گوسپندان اسکاتلندی سیاه هستند"

فیزیکدان اعتراض کرد"بگویید دراسکاتلند گوسفندان سیاهی وجوددارد"

ریاضیدان سرفه ای کرد(وبا نگاه عاقل اندرسفیه)وگفت"وجودداردمزرعه ای دراسکاتلند که درآن یافت میشود گوسفندی که حداقل یکطرف آن سیاه است"

معما

جواب در ادامه مطلب...

برندگان جایزه Wolf Foundation

ü «استفان ج. اسمیل» (Stephen J. Smale) از دانشگاه «کالیفورنیا» در «برکلی» ایالات متحده امریکا به‌خاطر مشارکت‌‌هایی گره‌گشا - که دارای نقشی اساسی در شکل دادن «توپولوژی دیفرانسیلی»، «سیستم‌های دینامیکی»، «اقتصاد ریاضی» و موضوع‌های دیگر در ریاضیات است – موفق به دریافت این جایزه شد.

ü برنده‌ی دیگر این جایزه، «هری فوراشتاینبرگ» (Harry Furstenberg) از دانشگاه «هبریو» (Hebrew) از «بیت‌المقدس» در اسرائل است که به‌خاطر مشارکت‌های عمیق و نقش گره گشا در «نظریه‌ی ارگودیک» (Ergodic Theory)، «دینامیک توپولوژی»، «آنالیز فضاهای متقارن» و «جریان‌های همگن» (Homogeneous Flows) این جایزه را تصاحب کرد.

توضیحات بیشتر در ادامه مطلب.......

یک تعارض منطقی

وزیر جمله ای را بیان کرد که تعارض پدید آورد یعنی گزاره ای که خود را نفی کند. وی در باسخ گفت: "  مرا به دار خواهید آویخت" . حال اگر این جمله را راست قبول کنند باید با تبر گردنش را بزنند که در این صورت جمله او دروغ است و باید به دار آویخته شود اما در این صورت راست گفته و...   به همین ترتیب اگر جمله وزیر را دروغ قبول کنند باز به تعارض بر می خورند. 

کنفرانس "آموزش معلمان و فناوری"

ادامه مطلب....

رقابت ریاضی در زمینه مدل سازی

معما

ريچارد به دروغگو حرفه اي است اون شش روز هفته دروغ ميگوید و فقط يه روز از هفته است كه حرف راست مي زند حالا شما با توجه به حرفاش بگيد اون چه روزي را راست ميگوید؟

روز اول:

من دوشنبه و سه شنبه دروغ مي گم

روز دوم:

امروز پنج شنبه يا شنبه يا يك شنبه است

روز سوم :

من چهار شنبه و جمعه دروغ مي گم

تعارض منطقی

نویسنده ای از اهالی کرت گفته است که همه اهالی کرت دروغگو هستند. اگر این ادعا قبول شود پس خود نویسنده نیز دروغگو است. در نتیجه اهالی کرت راستگویند لذا خود نویسنده راست گفته و اهالی کرت دروغگویند و...

جعبه لایتنر

یکی از روش های مؤثر یادگیری مطالب ،استفاده از جعبه لایتنر است.
در اینجا نحوه کار با این جعبه را توضیح می‌‌دهیم و امیدواریم شما با استفاده از این ابزار ساده و سودمند،بر یادگیری خود بیفزائید و در زمان محدودتر با کیفیت بهتر مطالب بیشتری را به خاطر بسپارید.

بقیه در ادامه مطلب..........................

تقسیم عادلانه

توجه کنید که داور بی طرفی که بتواند کیک یا نوشابه را مثلا با توجه به وزن به طور مساوی تقسیم کند وجود ندارد و تقسیم باید بوسیله خود n نفر که هر کدام سعی می‌کنند سهم بیشتری به دست آورند، انجام شود.در ضمن ممکن است ملاکی که هر کدام از افراد برای اندازه گرفتن 1/n کیک استفاده می‌کنند متفاوت باشد، مثلا یک نفر بر اساس مقدار خامه و دیگری بر اساس مقدار مربای کیک (که ممکن است به صورت متقارن هم پخش نشده باشند.) تصمیم می‌گیرد.

 منبع:  http://edu.tebyan.net/math/fair-division/02.htm

بقیه در ادامه مطلب.............

سوال

معما

مرد پولدار روزی به صفر میرود. و روزی که بر میگردد محافظ پولها به او میگوید: " وقتی در سفر بودید یک شب خواب دیدم شما در سفرتان با هوا پیما سقوط کرده و مجروح شدید وشما را به بیمارستان انتقال میدهند اما در بیمارسنان شما میمیرید" . و بلا فاصله مرد پولدار او را اخراج میکند .

چرا شخص پولدار محافظ را اخراج کرد؟

جواب در ادامه مطلب..... (اگر چه که نیازی به جواب نداره)

ضمنا اگر نظر هم بدید خوشحال میشم.

معما

ارتباط نام سایت گوگل با ریاضی

رفیق کیست ؟!!! (تکرار در وبلاگ)

نگاهی بسیار ساده به نظریه احتمالات

مفهوم احتمال در مورد ارتباط یا پیوند دو متغیر به کار می‌رود، به این معنی که ارتباط یا پیوند آنها به صورتی است که حضور، شکل، وسعت و اهمیت هر یک وابسته به حضور، شکل، و اهمیت دیگری است. این مفهوم به صورت محدودتر و در مورد ارتباط دو متغیر کمّی نیز به کار برده می‌شود.(مفاهیم اساسی جامعه شناسی، حمید عضدانلو).

بقیه در ادامه مطلب.........

منبع مطلب: دانشنامه آزاد ویکی پدیا

سوال

5 مهره سفید و یکسان و 4 مهره سیاه و یکسان را در یک ردیف کنار هم چیده ایم. احتمال اینکه هیچ دو مهره سفیدی کنار هم نباشد چیست؟

ترنس تائو و یک جایزه‌ی دیگر!

جایزه‌ی رامانوجان SASTRA  به ترنس تائو (  Terence Tao  ) از دانشگاه کالیفرنیا، لس‌آنجلس ایالات متحده آمریکا ( UCLA ) تعلق گرفت. تائو، ریاضی‌دان جوان و استرالیایی است که برنده‌ی جایزه‌ی فیلدز 2006 نیز شده است. تائو جایزه را به دلیل تحقیقات مهمش در زمینه‌های نظریه‌ی اعداد، آنالیز هارمونیک، نظریه‌ی نمایش، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، ترکیبیات و نظریه‌ی ارگودیک دریافت می‌گند. جایزه‌ی رامانوجان SASTRA از سال 2005 پایه‌گذاری شده و هر ساله به ریاضی‌دانی که در زمینه‌های تحقیقاتی رامانوجان ، ریاضی‌دان و نابغه‌ی شهیر قرن بیستم فعالیت برجسته داشته باشد اهدا می‌شود.

معما

......جواب در ادامه مطلب......

جادوی 13 !!!

اعداد اول

نوار موبیوس

شاید تا به حال اسم توپولوژی را شنیده باشید . به نظر اسم قلمبه سلمبه ای دارد و شاید فکر کنید موضوع خیلی پیشرفته ای باشد که از آن در کتاب های درسی دبیرستان موضوعی تدریس نمی شود . در واقع توپولوژی از شاخه های اصلی و گسترده ریاضیات می باشد و در طول سالها پیشرفت های زیادی کرده . اما ...(در ادامه مطلب)

ثبت رکورد جدید برای بزرگترین عدد اول

خبر

پال هالموس ،‌ رياضي دان و نويسنده‌ي چيره‌دست كتاب‌هاي رياضي درگذشت.
او دو روز پيش در 10 مهر 1385 ( 2 اكتبر 2006 ) در كاليفرنيا درگذشت . اكثر رياضي‌دانان جهان با كارهاي وي و نوشته‌هايش آشنايند. او د رطول عمر خود جوايز زيادي را نيز از آن خود كرد. بزودي در مورد ايشان و زندگي‌نامه‌اش مطالبي را در وبلاگ قرار خواهيم داد.
روحش شاد و يادش گرامي.

رفیق چیست؟!!!

؟؟؟!!!؟؟؟

666 ، عدد شیطانی!!!

طرز کار موتور موشک های فضایی

طرز کار موتور موشک های فضایی

مقدمه:

یکی  از عجیب ترین کشفیات انسان دسترسی به فضا است که پیچیدگی و مشکلات خاص خود را دارد. راه یابی به فضا پیچیده است، چرا که باید با بسیاری از مشکلات روبرو شد. مثلا:

- وجود خلا در فضا

- مشکلات گرما و حرارت

- مشکل ورود مجدد به زمین

- مکانیک مدارها

- ذرات و باقی مانده های فضا

- تابش های کیهانی و خورشیدی

- طراحی امکانات برای ثابت نگه داشتن اشیا در بی وزنی

ولی بزرگترین مشکل ایجاد انرژی لازم برای بالا بردن فضاپیما از زمین است که برای درک این موضوع باید به بررسی طرز کار موتورهای موشک پرداخت.

در یک دیدگاه ساده، می توان موتورهای موشک را به آسانی و با هزینه ای نسبتا کم طراحی کرد و حتی آن را به پرواز درآورد اما اگر بخواهیم مسئله را در سطح کلان بررسی کنیم با مشکلات و پیچیدگی های بسیاری مواجه هستیم و این موتورهای موشک (و به خصوص سیستم سوخت آن ها) آنقدر پیچیده است که تا به حال تنها سه کشور توانسته اند با استفاده از این فناوری انسان را در مدار زمین قرار دهند.

در این مقاله ما موتورهای موشک های فضایی را مورد بررسی قرار می دهیم تا با طرز کار و پیچیدگی های آن ها آشنا شویم.

نکات پایه ای:

عموما وقتی کسی درباره موتورها فکر می کند، خود به خود مطالبی درباره چرخش برایش تداعی می شود.برای مثال حرکت متناوب پیستون در موتور بنزینی که انرژی چرخشی برای به حرکت در آوردن چرخ ها را تولید می کند. و یا موتور الکتریکی که با تولید میدان الکتریکی که با تولید میدان مغناطیسی نیروی چرخشی برای پنکه یا سی دی رام تولید می کنند. موتور بخار هم به طور مشابه کار می کنند.

ولی موتور موشک از لحاظ ساختار متفاوت است. موتور موشک ها موتورهای واکنشی هستند.اساس کار موتور موشک برپایه ی قانون معروف نیوتون است که می گوید: "برای هر کنش واکنشی وجود دارد به مقدار مساوی ولی درجهت مخالف آن". موتور موشک نیز جرم را در یک جهت پرتاب می کند و از واکنش آن در جهت مخالف سود می برد.

البته تصور این اصل (پرتاب جرم و سود بردن از واکنش) ممکن است در ابتدا کمی عجیب به نظر بیاید، چرا که در عمل بسیار متفاوت می نمایاند. انفجار، صدا و فشار چیزهایی است که در ظاهر باعث حرکت موشک می شود و نه "پرتاب جرم".

بگذارید تا با بیان چند مثال تصویری بهتر از واقعیت را روشن کنم:

● اگر تا به حال با اسلحه ی(به خصوص سایز بزرگ آن) shotgun شلیک کرده باشید،  متوجه می شوید که ضربه ی بسیار قوی ای، با نیروی بسیار زیاد به شانه شما وارد می کند.

یک اسلحه مقدار 1 انس فلز را به یک جهت و با سرعت 700 مایل در ساعت شلیک می کند و در واکنش شما را به عقب حرکت می دهد.

● اگر تا به حال شیر آتش نشانی را دیده باشید، متوجه می شوید که برای نگه داشتن آن باید نیروی بسیار زیادی را صرف کنید (اگر دقت کرده باشید گاهی 2 یا 3 آتش نشان یک شیر را نگه می دارند) که در این جا شیر آتش نشانی مثل موتور موشک عمل می کند.

شیر آتش نشانی، آب را در یک جهت پرتاب میکند و آتش نشان ها از نیرو و وزن خود استفاده می کنند تا در برابر واکنش  آن مقاومت کنند. اگر آن ها اجازه بدهند تا شیر رها شود، شیر به این طرف و آن طرف پرتاب می شود.

حال اگر آتش نشان ها روی یک اسکیت برد ایستاده باشند شیر آتش فشانی آن ها را با سرعت زیادی به عقب می راند.

● اگر یک بادکنک را باد کنید و آن را رها کنید، بادکنک  به پرواز در می آید، تا وقتی که هوای داخل آن به طور کامل خالی شود. پس می توان گفت که شما یکم موتور موشک ساخته اید. در این جا چیزی که به بیرون پرتاب می شود مولکول های هوای درون بادکنک هستند.

بسیاری از مردم فکر می کنند که مولکول های هوا اهمیتی ندارند، در حالی که اینطور نیست. هنگامی که شما به آن ها اجازه می دهید تا از دریچه بادکنک به بیرون پرتاب شوند، بر اثر واکنش به وجود آمده بادکنک به جهت مخالف پرتاب می شود.

در ادامه برای درک بهتر موضوع، به مثالی دقیق تر اشاره می کنم:

● سناریوی توپ بیسبال در فضا:

شرایط زیر را تصور کنید،

مثلا شما لباس فضانوردان را پوشیده اید و در فضا در کنار فضاپیما معلق مانده اید و  چندین توپ بیسبال در دست دارید. حال اگر شما توپ بیسبال را پرتاب کنید، واکنش آن بدن شما را به جهت مخالف توپ حرکت می دهد.

سرعت شما پس از پرتاب توپ به وزن توپ و شتاب وارده بستگی دارد. همانطور که می دانیم حاصلضرب جرم در شتاب برابر نیرو است، یعنی:

F=m.a

همچنین میدانیم که هر نیرویی که شما به توپ وارد کنید، توپ نیز نیرویی مساوی ولی در جهت مخالف به بدن شما وارد میکند که همان واکنش است. پس می توان گفت:

m.a=m.a

حال فرض می کنیم که توپ بیسبال 1 کیلو گرم وزن داشته باشد و وزن شما و لباس فضایی هم 100 کیلوگرم باشد. پس با این حساب اگر شما توپ بیسبال را با سرعت 21 متر در ساعت پرتاب کنید. یعنی شما با دست خود به یک توپ بیسبال 1 کیلو گرمی، شتابی وارد کرده اید که سرعت 21 متر در ساعت گرفته است. واکنش آن روی بدن شما تاثیر می گذارد، ولی وزن بدن شما 100 برابر توپ بیسبال است. پس بدن شما با 100/1 سرعت توپ بیسبال (یا 0.21 متر بر ساعت) به عقب حرکت می کند.

حال اگر شما می خواهید از توپ بیسبال خود قدرت بیش تری بگیرید، شما دو انتخاب دارید: افزایش جرم یا افزایش شتاب وارده

شما می توانید یا یک توپ سنگین تر پرتاب کنید و یا اینکه شما می توانید توپ بیسبال را سریع تر پرتاب کنید (شتاب آن را افزایش دهید)، و این دو تنها کارهایی است که می توانید انجام دهید.

یک موتور موشک نیز به طور کلی جرم را در قالب گازهای پرفشار پرتاب می کند؛ موتور گاز را در یک جهت به بیرون پرتاب می کند تا از واکنش آن در جهت مخالف سود ببرد. این جرم از مقدار سوختی که در موتور موشک می سوزد بدست می آید.

عملیات سوختن به سوخت شتاب می دهد تا از دهانه خروجی موشک با سرعت زیاد بیرون بیاید.

وقتی سوخت جامد یا مایع می سوزد و به گاز تبدیل می شود، جرم آن تغییر نمی کند بلکه تغییر در حجم آن است. یعنی اگر شما مقدار یک کیلو سوخت مایع موشک را بسوزانید مقدار یک کیلو جرم با حجمی بیشتر، از دهانه خروجی موشک با دمای بالا و سرعت زیاد خارج می شود. عملیات سوختن، جرم را شتاب می دهد.
بیایید تا بیش تر درباره ی نیروی پرتاب بدانیم:

نيروی پرتاب:

قدرت موتور یک موشک را نیروی پرتاب آن می گویند. نیروی پرتاب در آمریکا به صورت
(پوند) ponds of thrust
و در سیستم متریک با واحد نیوتون شناخته شده است (هر 4.45 نیوتون نیروی پرتاب برابر است با 1 پوند نیروی پرتاب).

هر یک پوند نیروی پرتاب (4.45 نیوتون) مقدار نیروی است که می تواند یک شی 1 پوندی (453.59 گرم) را در حالت ساکن مخالف نیروی جاذبه زمین نگه دارد.

بنابر این در روی زمین شتاب جاذبه 21 متر در ساعت در ثانیه (32 فوت در ثانیه در ثانیه) است.

تعداد نا متناهی عدد اول وجود دارد

(۱+sqrt -۵)(۱-sqrt -۵)=۲*۳

دو تجزيه به عوامل اول براي عدد ۶ هستند كه به تقريب شريك بودن يكي نيستند. بنابراين حلقه مزبور يك حوزه يكتاي تجزيه نيست و ينابراين يك حوزه ايده آل اصلي نيز نيست. بنابراين طبق سومين خاصيت فوق الذكر بايد تعداد متناهي ايده آل اول داشته باشد و در نتيجه بنابه دومين خاصيت تعدادي نامتناهي عدد اول موجود است.

مسئله

مسئله

- فرض كنيد :
- ۱۰۰ نفر آدم با هوش در يك سالن زنداني هستند.
- حداقل يك نفر و حداكثر همه آنها داراي يك خال بر روي صورتشان هستند.
- هيچ كدام از اين افراد نمي دانند كه آيا خود داراي خال هستند يا نه.
- به آنها گفته شده كه به ازاي هر آدم خال دار يك شبانه روز ( نه كمتر و نه بيشتر) مهلت دارند كه آدم هاي خال دار از سالن بيرون بيايند.
- اين افراد نمي توانند هيچ ارتباطي با افراد ديگر موجود در سالن برقرار كنند.
- تنها ارتباط موجود ديدن صورت افراد ديگر است.
- به هيچ امكاني هم دسترسي ندارند كه صورت خود را ببينند.
- خلاصه پيغام و پيام و آينه و .... ممنوع است.
- تعداد افراد خال دار معلوم نيست.
سؤال : با چه روشي ممكن است كه فقط افراد خال دار در پايان مهلت تعيين شده (n روز به ازاي n خال دار) از سالن خارج شوند؟

جواب - > فرض کنین یه نفر تو قبیله خال داشته باشه. اون فرد خالدار بقیه قبیله رو میبینه که هیچ کس خالدار نیست ولی چون رییس قبیله گفته اینجور افراد حتما وجود دارند، نتیجه میگیره فقط خودش خالداره و همون روز اول خودش رو میکشه. از طرف دیگه بقیه افراد بدون خال میبینن یه نفر خال داره ولی خودشون نمیدونن خال دارن یا نه. مثل بالا برای خودشون استدلال میکنن که اگه خودشون خال نداشته باشن اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خودشون خال داشته باشن اون فرد ديگه امروز رو منتظر خواهد موند. اون فرد خالدار روز اول خودشو ميکشه و بقيه ميفهمن که خودشون خالدار نبودن. اين از يکی.
حالا برای دو نفر همين استدلال رو تکرار کنين. فرض کنين دو نفر تو قبيله خال دارن. اونی که خالداره ميبينه يه نفر تو قبيله خال داره ولی نميدونه خودش هم خال داره يا نه. با خودش ميگه اگه من خال نداشته باشم اون فرد خالدار بايد امروز خودش رو بکشه و اگر خال داشته باشم بايد منتظر بمونه. اون فرد ديگه هم همين جور استدلال ميکنه و هر دوشون روز اول رو کاری نميکنن و منتظر ميمونن. در نتيجه ميفهمن که هر دو تا خالدارن و روز دوم خودشون رو ميکشن. اما اونايی که خال ندارن ميبينن دو نفر تو قبيله خال دارن. اونا دو روز صبر ميکنن تا سرنوشت اين دو تا معلوم بشه و چون روز دوم اون دو نفر خودشون رو ميکشن ميفهمن که خودشون خال نداشتن.
به همین ترتیب میتونین برای سه نفر و چهار نفر و ... تکرار کنین استدلال رو. در نتیجه اگه n نفر خالدار باشن تا روز n-1 ام صبر ميکنن و بقيه که خال ندارن تا روز n ام. روز n ام افراد خالدار دسته جمعی خودشون رو ميکشن و از اينجا بقيه ميفهمن که خودشون خال ندارن. يعنی تا صبح روز n+1 فرد خالداری تو قبيله وجود نخواهد داشت. پس تو این قبیله ما 7 نفر خالدار بودن چون تا صبح روز هشتم دیگه فرد خالداری تو قبیله نبوده

+++===××××××××عدد شيطاني!×××××××××===+++

مسئله

حل: فرض كنيم a,b,c همگي فرد باشند و x=p/q كه p,q نسبت به هم اولند جواب گوياي معادله ax^۲+bx+c=۰ باشد. با قرار دادن مقدار x و ضرب معادله در q^۲ داريم ap^۲+bpq+cq^۲=۰ (*).
از آنجا كه فرض كرديم p,q نسبت به هم اولند هردوي آنها نمي توانند زوج باشند.
اگر p,q هر دو فرد باشند آنگاه با در نظر گرفتن فرض اولي كه a,b فردند در مي يابيم تمام جملات سمت چپ معادله * فرد مي باشد و در نتيجه سمت چپ عبارت فوق فرد مي شود كه تناقض است.
اكنون اگر دقيقا يكي از p,q فرد باشند آنگاه دقيقا ۲ جمله از ۳ جمله سمت چپ * زوج مي شود و در اين صورت مقدار سمت چپ باز هم فرد مي شود و در نتيجه دوباره به تناقض مي رسيم.
پس با فرض اول در هر حالت ممكن به تناقض مي رسيم، فرض خلف باطل و در نتيجه a,b,c همگي نمي توانند فرد باشند.

روشهاي حل مسئله

سؤال

سؤال

معادله

در ریاضیات، یک معادله از یک یا چندین متغیر تشکیل شده  که میتونه یک یا چندین جواب داشته باشه.در یک معادله دو عبارت در دو سوی یک = قرار دارن.و مقادیری که به ازای آنها دو عبارت موجود،مقداری مساوی دارند را جواب معادله گویند. به عنوان مثال عبارت زیر یک معادله با یک جواب است.



ولی عبارت زیر معادله ای با دو جواب میباشد.

تاریخچه

معادلات همراه با اعداد، از اولین دستاوردهای ریاضی بشرند. آنها در قدیمی ترین اسناد ریاضی، مکتوب، فی المثل، در متون میخی بابلیهای باستان، که به هزاره قبل از میلاد بر می گردند، و پاپیروسهای مصری باستان، که به امپراطوری میانه در حدود 1800 ق.م. بازگشت دارند، آمده اند.
بنا به ساختار جامعه بابلی مسائل مربوط به تقسیم ارث از اهمیت بسیاری برخوردار بودند. اولین پسر همواره بیشترین سهم را دریافت می کرد، دومی بیشتر از سومی، و به همین ترتیب.

در حالی که مسائل مطرح در بابل ،مجهول نسبتاً واضح توصیف شده است، در پاپیروس های مصری با علامت "h" نمایش داده شده است، که توده یا گردایه را نشان می دهد. چنین محاسباتی نسبتاً زیاد رخ می دهند و متناظر با معادلات خطی ما هستند. مقایسه ای بین متنی مصری از پاپیروس مسکو و نماد نویسی جدید این نکته را روشن می سازند.
پیش از این که زبان نمادین جبری مطرح شود، معادلات را بالاجبار با کلمات می نوشتند حتی فرانسواویت که معمولاً به ویتا موسوم است که شایستگی های بسیاری در زمینه جبر دارد از کلمه لاتین برای برابر بودن استفاده می کرد
علامت برابری = که امروزه متداول است توسط روبرت رکورد پزشک دربار سلطنتی مطرح شد، اما زمان قابل ملاحظه ای طول کشید تا این علامت مقبولیت عام یافت.

the whetstone of witte

وی این طرح را در کتاب درسی جبری که به صورت گفتگو نوشته شده بود و عنوانش "the whetstone of witte" بود مطرح و انگیزه انتخاب ان را با گفتن مطالب زیر بیان کرد «در این مورد همان گونه که قالباً در عمل انجام می دهم یک جفت خط توامان می گذارند این چنین = = =, زیرا هیچ دو شیی نمی توانند برابر محض باشند.
با نوشته شدن کتاب جبر و مقابله توسط خوارزمی در سده های سوم و چهارم هجری ،جبر وارد ریاضیات شد، و به حل معادله ها پرداخته شد.خود واژه جبر به معنای جبران کردن و مقابله به معنای روبه رو قرار دادن دو سوی برابری است.

مجموعه جواب

کار با مجموعه معینی از اعداد، موسوم به حوزه اصلی و مجموعه مشخصی از متغیرها که عناصری از حوزه اصلی با زیر مجموعه ای، موسوم به حوزه تغییرپذیری را می توان به جای آنها قرارداد، آغاز می شود.
در مشخص کردن حوزه اصلی و حوزه تغییر پذیری،N به جای مجموعه اعداد طبیعی، Z به جای مجموعه اعداد صحیح،Q به جای مجموعه اعداد گویا،R به جای مجموعه اعداد حقیقی و C به جای اعداد مختلط قرار می گیرد.