حكم: اگر X عدد گوياي غير صحيحي باشد آن‌گاه  گنگ است.
اثبات: همان‌طور كه مي‌دانيم هر عدد گويا را مي‌توان به شكل نوشت كه در آن p و q اعداد صحيح و  هستند. چون X عدد گوياي غير صحيح است، مي‌توان آن را به صورت  نوشت كه در آنa و bاعداد صحيح و 1=(a,b) و 1گويا باشد، پس كه در آن d,c اعدادي صحيح و 1=(c,d) .

چون1 [تجزيه به عوامل اوّل]و در نتيجه و با توجه به (1)، موجود است كه .چون 1=(c,d) پس   .توان p در تجزيه ي اعداد به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . پس توان p در تجزيه ي اعداد  به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . با توجه به(*) و اين كه تجزيه به عوامل اوّل يكتاست، نتيجه مي‌شود كه: بنابراين:                  

از طرفي با توجه به اين كه نتيجه مي‌شود كه . از دو رابطه ي اخير نتيجه مي‌شود: . (2)
اكنون توجه شما را به لم زير جلب مي‌كنيم:
لم: اگر p عددي اوّل و  دلخواه باشد آن‌گاه  .
اثبات لم: با استقراء‌ بر m . [جزئيات به عهده‌ي خواننده].

چون رابطه ي (2) و لم فوق با هم در تناقض هستند پس حالت الف) اتفاق نمي‌افتد.

حالت ب) 1=d .با مروري بر قسمت قبل، مي‌توان دريافت كه اين حالت نيز اتفاق نمي‌افتد.[به (*) توجه كنيد ].

اين بحث نشان مي‌دهد كه گنگ است و به اين ترتيب اين حكم شگفت انگيز اثبات مي‌شود.

منبع: سایت ریاضیدانان جوان (مورد توجه بعضی ها!)